Quantenverschränkung

Verschränkte QuBits sind spezielle Zweiteilchenzustände. Für zwei verschränkte QuBits Q_A, Q_B beschreiben die Bell-Zustände den Zustand maximaler Verschränkung:

\Ket{Q_{A},Q_{B}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}\pm\Ket{11}); \Ket{Q_{A},Q_{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{01}\pm\Ket{10})

Exkurs: Zweiteilchenzustände

Für die Erklärung der Verschränkung zweier QuBits wird im folgenden die allgemeine Darstellung eines Zweiteilchenzustands benötigt.

Der Zweiteilchenzustand zweier unverschränkter QuBits lässt sich über das Tensorprodukt (dyadisches Produkt) ausgehend von den Einteilchenzuständen beschreiben:

\Ket{a} = \begin{bmatrix} a_{0} \\ a_{1} \end{bmatrix}, \Ket{b} = \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix}, \Ket{ab} = \Ket{a} \otimes \Ket{b} = \begin{bmatrix} a_{0} \times \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix} & a_{1} \times \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix} & \end{bmatrix} = \Biggl[\begin{bmatrix} a_{0}b_{0} \\ a_{0}b_{1} \\ a_{1}b_{0} \\ a_{1}b_{1} \end{bmatrix}\Biggr]

Ein allgemeiner Zweiteilchenzustand zweier QuBits lässt sich über folgenden Zustandsvektor darstellen:

\Ket{a}=a_{00}\Ket{00}+a_{01}\Ket{01}+a_{10}\Ket{10}+a_{11}\Ket{11}=\Biggl[ \begin{bmatrix} a_{00} \\ a_{01} \\ a_{10} \\ a_{11} \end{bmatrix} \Biggr]

Für die Normierung gilt dann:

|a_{00}|^2+|a_{01}|^2+|a_{10}|^2+|a_{11}|^2=1

In einem Quantencomputer lässt sich die Verschränkung zwischen zwei QuBits durch die Anwendung des Hadamard und CNOT Gatters erzeugen:

Das Hadamard Gatter

Das Hadamard Gatter überführt QuBits im Zustand |0〉 bzw. |1〉 in den Überlagerungszustand [1]:

\Ket{0}

\Ket{+}

\Ket{-}

\Ket{1}

Exkurs: Mathematische Darstellung des Hadamard Gatters.

Mathematisch gesehen handelt es sich bei dem Hadamard Gatter (Hadmard-Operator) um eine 2×2 Matrix, die die Zustände |0〉 bzw. |1〉 in den Zustand |+〉 bzw. |-〉 transformiert:

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, H\Ket{0}=\Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}+\Ket{1}), H\Ket{1}=\Ket{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}-\Ket{1})$

Das CNOT Gatter

Für dieses Gatter sind zwei QuBits erforderlich: Q_A und Q_B. Das QuBit Q_A wird als Control bezeichnet, da von seinem Zustand der finale Status von Q_B abhängt [1]:

Das CNOT Gatter invertiert den Zustand von QuBit Q_B nur wenn Q_A den Zustand |1> hat. Ansonsten bleibt der Zustand von Q_B unverändert.

Exkurs: Mathematische Darstellung des CNOT-Gatters.

Das CNOT Gatter (CNOT-Operator) kann mathematisch durch eine 4×4-Matrix ausgedrückt werden, die den Zustandsvektor der zwei QuBits wie folgend transformiert:

CNOT=\Biggl[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\Biggr], \Ket{a}=\Biggl[\begin{bmatrix} a_{00} \\ a_{01} \\ a_{10} \\ a_{11} \end{bmatrix}\Biggr], CNOT\Ket{a}=\Biggl[\begin{bmatrix} a_{00} \\ a_{01} \\ a_{11} \\ a_{10} \end{bmatrix}\Biggr]

Das CNOT-Gatter vertauscht also a₁₀ und a₁₁!

Erzeugung eines Bell-Paares

Es soll nun ein Bell-Paar mit diesen beiden Gattern erzeugt werden [1]:

\Ket{Q_A,Q_B}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}+\Ket{11})

Am Anfang liegen Q_A und Q_B jeweils im Zustand |0> vor. Das Hadamard Gatter ändert den Zustand von Q_A zu |+>. Dadurch verändert das CNOT Gatter mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% den Zustand von Q_B zu |1> (falls die Messung an Q_A am CNOT Gatter 1 liefert). Somit liegt am Ende eine Überlagerung von |00> und |11> vor, ein Bell-Zustand mit Verschränkung!

Wird nun beispielsweise an Q_A eine Messung durchgeführt, die das Ergebnis 0 liefert, so kollabiert der Bell-Zustand zu |00> und sowohl Q_Aals auch Q_Bliegen danach im Zustand |0> vor. Diese Korrelation zwischen den möglichen Messergebnissen an Q_A und Q_B ist characteristisch für Verschränkung.

Quellen

[1] M. Ellerhoff. Mit Quanten Rechnen. ISBN 978-3-658-31221-3

Stand: 17.06.2024